Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades formação de uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema.
Por exemplo, com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição) podemos formar?
Formar números, em primeira análise, nada mais é do que ordenar algarismos em fila. Desse modo, a resposta, como vimos no princípio multiplicativo é
3 x 2 x 1 = 6 números, pois, não houve repetição de algarismos.
Caso a repetição fosse permitida teríamos como formar 3 x 3 x 3 = 27 números, pois números como 222 anteriormente não permitidos foram, nesse ultimo caso, liberados em aparecer na contagem.
Outro exemplo de contagem no qual lançamos mão da ferramenta permutação simples é a contagem do número de anagramas que podem ser formados com alguma palavra.
Anagrama é um processo de troca de ordem das letras de uma palavra com o intuito de formar uma nova palavra (esta palavra formada pode ter sentido ou não). Por exemplo, da palavra roma vem o anagrama amor. A palavra TRAPO pode formar os anagramas:
PRATO .
RAPTO .
PARTO .
PORTA .
TROPA .
TRPAO .
POTRA .
...
...
...
Esses são apenas alguns dos anagramas que podemos formar. Repare que alguns fazem sentido outros não.
Imagine agora que você tem a missão de contar todos os anagramas da palavra Trapo.
Uma das maneiras de realizar essa tarefa é listar, como vinha sendo feito anteriormente, todos os anagramas da palavra trapo e em seguida contar a dedo todos eles. Mas com certeza esse processo não é uma boa técnica, já que o número de anagramas vai ser relativamente alto. Como não podemos repetir as letras da palavra e todas as letras devem ser utilizadas uma boa técnica de contagem é o uso das permutações simples. Observe:
1º ) A palavra TRAPO contém 5 letras. Dispostas da esquerda para a direita são cinco posições as quais uma letra de cada vez preenche cada posição:
Por exemplo, no anagrama RAPTO a letra R ocupou a primeira, A a segunda, P a terceira, T a quarta e O a quinta e última posição.
Resta agora, depois do exposto acima verificar quantas possibilidades de escolha dispomos para a 1ª posição, para a 2ª e assim sucessivamente.
Para a escolha de uma letra para a 1ª posição temos cinco letras disponíveis. Optaremos por uma. Desse modo restarão quatro letras disponíveis para a escolha da letra da 2ª posição. Optaremos por uma outra letra. Para a terceira haverá três opções. Para a quarta duas. E para a quinta e última uma opção. Finalmente devemos multiplicar esses valores encontrados:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas da palavra trapo.
Como foi mencionada a listagem de todos os anagramas é inviável devido ao numero elevado.
É importante notar que no exemplo dos números encontramos como resposta o produto 3 x 2 x 1 e nesse último também obtivemos um produto do mesmo tipo : 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Esse é um importante resultado em combinatória. Em problemas que a ferramenta permutações simples for utilizada encontraremos resultados como os acima.
Para generalizar, toda vez que tivermos com a missão de dispor objetos distintos em ordem, em fila, isto é, formar uma seqüência, estaremos utilizando permutações simples, observe:
Exemplos:
1) De quantos modos distintos podemos formar uma fila com 3 pessoas?
Resolução:
A resposta, depois de todas as considerações anteriores, é imediata:
3 x 2 x 1 = 6 filas
2) De quantos modos diferentes podemos dispor 5 pessoas em fila?
Resolução:
Pelo mesmo raciocínio: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 modos ou filas diferentes.
3) De quantos modos diferentes podemos formar uma fila com 15 pessoas?
Resolução:
Da mesma Forma: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1 307 674 268 000 filas.
4) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra MAGNÉTICO? O acento sempre acompanhará o E.
Resolução:
Resposta: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362 880 anagramas.
Podemos notar nos quatro exemplos acima que sempre multiplicamos um número natural pelos seus antecessores até o 1. Isto é, pegamos um número e sempre o multiplicamos pelo que tem uma unidade a menos do que ele, em seguida por outro que tem duas unidades a menos do que ele e assim sucessivamente até chegarmos no 1. Por exemplo
A primeira linha pode ser reescrita como a segunda.
Esse processo utilizado em permutações simples, o de multiplicar um número pelos seus antecessores até o 1 é chamado fatorial e existe um símbolo para representar que o produto é do tipo fatorial.
O produto 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 é um fatorial e pode ser reescrito como 9!, o sinal ( ! ) indica esse produto.
Da mesma forma o produto
15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
é igual a
15!
.
Com essa linguagem resumimos o produto, pois, basta indicar onde esse produto começa (15) e que é fatorial ( ! ).
Identicamente 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! e 3 x 2 x 1 = 3!.
É uma boa nomenclatura, muito pratica. Imagine a seguinte situação combinatória. Você está encarregado de dispor em fila cinco mil pessoas. De quantos modos pode realizar essa tarefa. A resposta como vimos nos exemplos acima sobre filas é igual a
5000 x 4999 x 4998 x 4997 x 4996 x ... x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5000!
segue esse produto de antecessores do 5000 até que se chegue no 1. Desse modo podemos resumir esse resultado com a linguagem fatorial. Assim, fica simplesmente 5000! (cinco mil fatorial).
Para generalizar se devemos dispor n objetos em fila teremos n! (n fatorial) maneiras distintas de dispormos esses n objetos, Simbolizaremos assim:
Para terminar quanto vale 1! e 0!?
1! = 1 Podemos pensar combinatoriamente e nos indagarmos sobre a quantidade de maneiras de dispormos (1) objeto em fila. Existe uma única maneira. Dessa forma 1! = 1
0! = 1 Podemos pensar, utilizando combinatória, de quantos modos podemos colocar 0 (zero) objetos em fila. Esta resposta é polêmica, mas é bem aceitável. Como não há objetos podemos realizar esse ato de uma maneira - não construindo a fila. Quem pensou que 0! = 0 não cometeu um erro, pois provavelmente imaginou que não há nenhuma fila a ser construída. Dessa forma, devemos ter em mente que 0! = 1 é uma convenção. Daqui em diante consideraremos 0! = 1 e não igual a zero, pois considerando a primeira alternativa evitamos problemas posteriores.
Novamente, a ferramenta permutações simples deve ser utilizada para contar as possibilidades de formação de uma fila (ou seqüência) quando não houver elementos repetidos e forem utilizados todos os elementos em questão. Se quiséssemos, por exemplo, contar os anagramas da palavra AMIZADE não poderíamos utilizar tal ferramenta, pois a letra A aparece repetida duas vezes. Portanto elemento repetido. Outro exemplo em que o uso de permutações simples é indevido seria, por exemplo, formar números de três algarismos distintos utilizando 3, 4, 5, 6. Uma vez que só utilizaríamos três algarismos e dispomos de quatro. Dessa forma não utilizaríamos todos os elementos fornecidos.
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gostei, tá bem detalhado...